Matematikk 1

Her legges linker Bjørns hjemmeside

Komplekse Tall:

Vi definerer den imaginære enheten i = Sqroot(-1)

Et kompleks tall består av en realdel og en imaginærdel z = x + i * y

Den komplekse konjugerte av et kompleks tall er z* = x - i * y

Addisjon og subtraksjon av komplekse tall foregår slik at man summerer den reelle og den imaginære delen hver for seg.

Multiplikasjon av to komplekse tall går som vanlig parantes multiplikasjon, men vi bruker ofte at i = Sqroot(-1) => i^2 = -1 på det siste leddet.

Ved divisjon bruker vi at z * z* = x^2 + y^2, slik at vi ganger brøken i teller og nevner med den konjugerte av nevneren. Da får vi et reellt tall i nevner, som er hensikten ved divisjon av komplekse tall.

Likninger hvor brøker består av imaginære tall i nevneren skal man ikke utføre divisjonen som over, men løse likningen på helt vanlig måte, dvs å gange alle ledd med et uttrykk som står i en ugunstig nevner slik at det kan forkortes bort.

I likninger med både komplekse tall og konplekse konjugerte tall, bruker vi at z_1 = z_2 => x_1 = x_2 og y_1 = y_2, noe som gir ut to likninger hvor den reelle og den imaginære ukjente kan løses ut hver for seg.

Komplekse tall kan ikke avmerkes på ei tallinje, men derimot i det komplekse planet.

Husk! Alltid ha i bakhodet hvor det komplekse tallet befinner seg i planet for å unngå kluss med fortegn til vinkler osv.


 * Figur som viser et koordinatsystem med aksene "Im" og "Re". Et komplekst tall z, modulusen R og Argumentvinkelen theta.

Modulus R

Argumentvinkel theta

Komplekst tall på polarform z = R(cos(theta) + i * sin(theta) )

Vanlig trigonometri gir overganger fra standardform til polarform, og visa versa.

Merk! at formelen tan(theta) = y \ x kan gi en vinkel både i 1.- og 3.kvadrant.

Eulers regel (skal ikke utledes i år) sier at e^(i * (theta) ) = cos(theta) + i * sin(theta)

Noe som direkte innsatt i polarformen gir at z = R * e^(i * theta)

Merk! Pass på å ha gangetegn mellom R og e på kalkulator og data for å unngå at den misforstår det som Re som er symbolet for reellt.

Grunnet Eulers formel kan alle multiplikasjoner og divisjoner med komplekse tall utføres enklere med potensregler, og vi får formelen for multiplikasjon z_1 * z_2 = R_1 * R_2 * e^(i *theta_1 + theta_2)

og formelen for divisjon z_1 \ z_2 = R_1 \ R_2 * e^(i *theta_1 - theta_2)

og formelen for potenser z^n = R^n * e^(i * n * theta)

og dermed også for røtter, da Sqroot(z) = z^(1\2)

For å gjøre om fra standard form til eksponentiell form, tegn figur og finn ut R og (theta)

Andre sammenhenger

i = e^(1\2 * pii * i)

-1 = e^(pii * i) = -e^(pii * i)

-i = e^(3\2 * pii *i)

cos(theta) = (e^(i * theta) + e^ - (i * theta)) \ 2

sin(theta) = (e^(i * theta) - e^ - (i * theta)) \ 2 * i

(cos(theta) + sin(theta))^n = cos(n * theta) + i * sin(n * theta)

Kvadratrøtter av komplekse tall

Sqroot(z) = Sqroot(R) * e^(i * (tetha / 2) ) = Sqroot(R) * (cos(tetha/2) + i * sin(tetha/2)

Eller Sqroot(z) = Sqroot(R) * e^(i * (tetha / 2) ) * (-1)

Legger vi på 2 * pii så finner vi en ny løsning

Noen ganger kan halvering av vinkler gi stygge svar.

Bruk da at cos(tetha / 2) = +- Sqrt( (1+cos(tetha) ) / 2 )

og at sin(tetha / 2) = +- Sqrt( (1-cos(tetha) ) / 2 )

Løsing av 2.gradslikningen bestående av komplekse tall

Det kan se ut som at det er for mange ledd i likningen, men et komplekst tall består jo av to ledd. Vi bruker z som den ukjente

Høyere ordens røtter av komplekse tall

Fremgangsmåte:

1) Overfør tallet til formen z = R * e^(i * (tetha + m * 2 * pii) )

2) n-root(z) = z^ (1 / n) =(R * e^(i* (tetha + m *2 * pii) ) )^(1/n) = R^(1/n) * e^ (i * (tetha /n + (2*m*pii)/n) )

3) Du får n løsninger. Overfør til standardform.

Algebraens fundamental...?

Alle polynomer av n-te grad har n antall løsninger, så sant vi bruker komplekse tall.

Regneteknisk oppsummering

i^2 = (-1)

(1 - i)(1 + i) = 1^2 - i^2 = 1 - (-1) = 2

I likninger så samle alle z på den ene siden.

Sqroot(z) = Sqroot(R) * e^(i * (tetha / 2) ) = Sqroot(R) * (cos(tetha/2) + i * sin(tetha/2)

Modulus R = sqrt(Re^2 + i^2)

Argumentvinkel tetha = tan^(-1) (i / Re)

Husk at du får flere løsninger ved røtter.

For å løse rotutrykk

1) Tegn figur

2) Finn R og tetha

3) Omgjør uttrykket til "e^ -form"

4) Skriv svaret på polarform (trigonometrisk form)

Ved kvadratrot kan du bare sette på +- hele veien langs utregningene

Ved høyere røtter må du legge til 2 * pii samme antall ganger som n-te roten.







Lineære 2.ordens differensiallikninger
Slike diff.likninger er på formen y+p(x)y'+q(x)y = r(x)

Spesialtilfeller: Kjennemerke: q(x) = 0 Løsning: 1) Innfør en ny funksjon z(x) = y'(x) <=> z'(x) = y(x) 2) Finn hjelpefunksjon F(x) = integral( p(x) ) 3) Da er z(x) = e^(-F(x))(integral(g(x)*e^(F(x) )dx + C ) 4) Løsningen er da y(x) = integral( z(x) )

Kjennemerke: y''+y = 0 Løsning: 1) Vis at y_1(x) = sinx og at y_2(x) = cosx 2) Løsningen er da 8x) = C_1*sinx + C_2*cosx

Vanlige tilfeller: Vi skal bare se på likninger der p(x) og q(x) er konstanter.

Kjennemerke: Homogen likning r(x) = 0 Løsning: 1) Sett opp den karakteristiske likningen lambda^2 + a*lambda + b = 0 Tre muligheter: a) To forskjellige reelle røtter lambda_1 og lambda_2 - Løsningen er da y(x) = C_1*e^(lambda_1*x) + C_2*e^(lambda_2*x) b) To kompleks konjugerte røtter lambda = alpha +- i*beta - Løsningen er da y(x) = e^(alpha*x) (C_1*cos(beta*x) + C_2*sin(beta*x)) c) To like røtter lambda_1 = lambda_2 = lambda - Løsningen er da y(x) = C_1*e^(lambda*x) + C_2*x*e^(lambda*x) Merk! x'n.

Kjennemerke: Inhomogen likning r(x) forskjellig fra 0 Generell løsning: y(x)=y_h(x) + y_p(x), der Y_h er den tilhørende homogene likningen som finnes ved vanlig karakteristisk likning (se bort fra høyresiden), mens y_p er den partikulære løsningen av den imhomogene likningen. En partikulær løsning er en eller annen funksjon som passer inn i den gitte inhomogene differensiallikningen. Løsning: 1) Vi gjetter på en partikulær løsning av samme form som r(x) a) r(x) Prøv y_p(x) b) a_0 + a_1*x +...+ a_n*x^n Prøv y_p(x) = A_0 + A_1*x +...+ A_n*x^n c) a*cos(omega*x) + b*sin(omega*x) Prøv y_p(x) A*cos(omega*x) + B*sin(omega*x) d) a*e^(alpha*x) Prøv y_p(x) A*e^(alpha*x) 2) Deriver